esercizi fisica univeristà 1-2

Oggi il professore ha assegnato degli esercizi in aula; vale la pena farli perché è probabile che alcuni di essi siano assegnati uguali alla prova scritta d'esame. Per ora ne posto un paio, gli altri richiedono un minimo di figura per essere spiegati quindi li "acconciamo" in qualche modo nei prossimi giorni e cerchiamo di renderli disponibili qui quanto prima.

/*Indico in neretto i vettori (v è un vettore, v è solo il suo modulo) e con il punto "." il prodotto scalare*/

Esercizio 1:
dati i vettori (espressi in coordinate cartesiane):

u = 6i - 4j + 2k
v = 2i - 6j + 10k
z = 4i + 2j - 8k

stabilire se essi formano un triangolo rettangolo.

Soluzione:

innanzitutto, affincé formino un triangolo rettangolo, è ovviamente necessario che tra due di essi vi sia un angolo retto. Come verificarlo? Bisogna calcolare (a coppie di vettori) il loro prodotto scalare: se per una di queste coppie il prodotto scalare risulta nullo, tale coppia di vettori forma un angolo retto. Procediamo per tentativi, calcolando cioè i prodotti scalari dei vettori, lavorando quindi sulle loro componenti:

u.v=(6x2)+(4x6)+(2x10)=12+24+20 !=0 NON formano angolo retto;
u.z=(6x4)+[(-4)x2]+[2x(-8 )]=24-8-16=0 FORMANO angolo retto.

Avendo verificato che due dei vettori dati (u e z) formano un angolo retto, resta da stabilire se tutti e tre formano un triangolo (che sarà ovviamente rettangolo, avendo un angolo retto, come appena dimostrato). Come si fa a stabilire se è un triangolo? Basta applicare il teorema di Pitagora al "presunto" triangolo, i cui cateti sono i due vettori che individuano l'angolo retto (u e z) e l'ipotenusa il terzo vettore v. Quindi la somma dei quadrati costruiti sui cateti deve essere uguale al quadrato costruito sull'ipotenusa, quindi la somma dei quadrati dei moduli dei due vettori "cateti" deve essere uguale al quadrato del terzo vettore "ipotenusa". Come si calcola il modulo di un vettore? Ancora una volta con il teorema di Pitagora applicato alle sue componenti, per cui avremo:

modulo di u al quadrato= 6^2 + (-4)^2 + 2^2= 36 + 16 + 4= 56;
modulo di z al quadrato= 4^2 + 2^2 + (-8 )^2= 16 + 4 + 64= 84;
modulo di v al quadrato= 2^2 + (-6)^2 + 10^2= 4 + 36 + 100=140;

56+84=140, quindi il teorema di Pitagora vale; in conclusione i tre vettori individuano un triangolo rettangolo.


Esercizio 2:
sia P un punto di coordinate x, y (in un sistema di assi cartesiani) individuato dal vettore posizione r(3i+2j)m. Su di esso agisce una forza F di intensità 4/r^2 N diretta secondo la congiungente P con l'origine O degli assi.
Esprimere F, Fx e Fy e calcolarne i moduli.

Soluzione:

rappresentazione grafica (conviene sempre farla!):
in sostanza si tratta di disegnare un paio di assi cartesiani segnando con O l'origine e con P un generico punto del piano; quindi basta puntare la matita in un punto qualsiasi del piano cartesiano e scriverci vicino P(x,y). Fatto questo, poiché sappiamo che tale punto è "individuato dal vettore posizione r(3i+2j)m", allora tracciamo questo vettore posizione che parte ovviamente dall'origine O e "indica" P, cioè ha la sua punta in P. Le componenti di questo vettore r sono 3i (rispetto all'asse x) e 2j (rispetto all'asse y): è possibile indicarle sul disegno stesso. Dopo di che sappiamo che la forza F (che ovviamente anche è un vettore) agisce su P "secondo la congiungente P con l'origine O degli assi", cioè in sostanza la direzione del vettore F è esattamente la stessa di r MA il suo verso è opposto.

Fatto il disegno, rimane da determinare la soluzione. Allora innanzitutto dobbiamo esprimere il vettore F: il suo modulo già lo conosciamo (è 4/r^2), ci rimane da determinarne direzione è verso; abbiamo appena detto, però, che la direzione di tale vettore è la stessa di r e il suo verso è opposto: il fatto che la direzione sia la stessa, significa che F e r hanno lo stesso versore (e quindi anche le stesse componenti) MA cambiato di segno, per esprimere il fatto che F è opposto a r. Non dovrebbe risultare quindi strano esprimere F come segue:

F=-4/r^2r/r,

dove:
il segno - indica appunto che F, rispetto a r, è opposto;
4/r^2 altro non è che il modulo di F, che era già noto in partenza;
r/r è il versore di r (e quindi di F, essendo lo stesso cambiato di segno), dato dal rapporto tra vettore stesso e il suo modulo.
Moltiplicando (-4/r^2)xr/r otteniamo -(4/r^3)xr, dove il vettore r può essere scritto con le sue componenti, quindi in definitiva avremo che il vettore F è:

F=-4/r^3(3i +2j).

A questo punto abbiamo espresso F vettorialmente. Ora ci resta da definire i moduli di Fstesso e delle sue componenti Fx e Fy:
per quanto riguarda le componenti di F (Fx e Fy), queste si possono ricavare facilmente da

F=-4/r^3(3i +2j)

moltiplicando il modulo di F per le componenti 3i e 2j, quindi F(12/r^3 +8/r^3). Ricordando ora che il modulo di r è radquad(13), che possiamo scrivere come 13^(1/2), abbiamo

Fx=-12/r^3, quindi Fx=-12/(13^3/2) N, da cui Fx=-0,26N

e

Fy=-8/r^3, quindi Fy=-8/(13^3/2) N, da cui Fy=-0,17N.

I segni - sono dovuti al fatto che le componenti orizzontale e verticale della forza sono ovviamente opposte alle componenti del vettore spostamento: giacché queste ultime sono state scritte col segno positivo, allora per esprimere il concetto di "contrarietà" aggiungiamo al valore delle componenti di F il segno "meno" (osservazione di neosse76)

Ultimo punto: modulo di F. Teorema di Pitagora tramite le sue componenti-> F=radquad((-0,26N)^2+(-0,17N)^2)N=0,31N.

Per il terzo esercizio, come dicevo anche nel post precedente, occorre un minimo di rappresentazione grafica. Ho realizzato qualcosa rigorosamente con paint (:mrgreen:) che è possibile visionare cliccando qui (se il link non funziona - cosa più che probabile - avvisatemi). In questo stesso file, oltre che la spiegazione del disegno, ho inserito la traccia dell'esercizio, che comunque riporto qui di seguito